Mécanique quantique
Groupes de symétrie du modèle standard

Dans le modèle standard des particules, les symétries sont reliées à des structures algébriques appelés groupes.

Symétries exactes

U(1)

$U(1)$ est le groupe de jauge de l’électromagnétisme, théorie de jauge la plus simple constituée par l'électrodynamique classique de Maxwell.

Le groupe $U(1)$ correspond au cercle unité ($T$), composé de tous les nombres complexes ayant comme valeur absolue (ou module) 1 pour la multiplication : $\mathbb T=\{z\in\mathbb C:|z|=1\}$.

La charge électrique $Q$ est conservée, i.e. c'est un nombre quantique conservé de manière additive, i.e. il y a une invariance par transformation de jauge de l'hamiltonien $H$ :

• $|\psi\rangle\rightarrow|\psi'\rangle=e^{-iQ\alpha}|\psi\rangle$ , et donc : $[Q,H]=0$.

• 

  $\alpha$ peut être constant (transformation globale) ou $\alpha=\alpha(x)$, dépendant de la position (transformation locale).

SU(3)

$SU(3)$ est le groupe associé à l'interaction forte et à la chromodynamique quantique, théorie de jauge des groupes de matrices de Gell-Mann $3\times3$.

Dans, l'algèbre de Lie, il existe des connections entre $SU(2)$ et $SO(3)$, le groupe de rotation en trois dimensions.

Le lagrangien est $\mathcal L_{QCD}=-\dfrac{1}{4}G^a_{\mu\nu}G_a^{\mu\nu}+i\sum\limits_f\bar q^i_f\gamma^\mu(D_\mu)_{ij}q_f^j-\sum\limits_fm_f\bar q^i_fq_{fi}$ où :

• $i$, $j$ et $a$ sont les indices de couleur, $f$ est la saveur du quark, i.e. $u$, $d$, $s$, $c$, $b$ et $t$ ;

• 

  $\mu$ et $\nu$ sont les indices de Lorentz ;
• $q$ est un champ de spineurs de dimension 12, i.e. les trois couleurs multipliées par le quadrivecteur de Dirac ;
• $G_{\mu\nu}^a=\partial_\mu A_\nu^a-\partial_\nu A_\mu^a+g_sf_{abc}A_\mu^bA_\nu^c$ où $f_{abc}$ sont les constantes de structure de $SU(3)$ ;
• $m$ représente la masse des quarks et et $g$, la constante de couplage de l'interaction forte.

Les interactions fortes sont exactement symétriques : on parle de symétrie de couleur.

• Seuls les hadrons sont sensibles à ces interactions entres quarks et gluons, tous deux associés à ce groupe de jauge.
• Le confinement de couleur (ou simplement confinement ou confinement des quarks et des gluons) est une propriété de ces particules élémentaires qui ne peuvent être isolées et sont observées uniquement avec d'autres particules de telle sorte que la combinaison formée soit blanche, c’est-à-dire que sa charge de couleur totale soit nulle. C'est cette propriété qui est à l'origine de l'existence des hadrons.

La généralisation des coefficients de Clebsch-Gordan à $SU(3)$ est utile pour caractériser les désintégrations hadroniques dans la voie octuple qui relie les trois quarks up, down et étrange.

Le groupe $SO(10)$ (cf. unification des forces) est associé à la théorie de grande unification (GUT).

Symétries pouvant être brisées

SU(2)

$SU(2)$ est à la base d'une symétrie " approximative " des trois générations de quarks et de leptons, mais n'est pas un groupe de jauge (théorie des représentations de $SU(2)$)

• 

  Pour les quarks up et down, lié aux hadrons (proton, neutron, pion), on trouve une symétrie d'isospin.
• Cette symétrie est brisée par les interactions électromagnétiques.
• Toutefois, son utilité réside dans le fait que les ruptures peuvent être décrites par une théorie de perturbation, qui provoque des différences légères entre les états quasi dégénérés.

Cette symétrie est basée sur les matrices de Pauli qui forment, au facteur $i$ près, une base de l'algèbre de Lie du groupe $SU(2)$.

SU(2) x U(1)

$SU(2)$$\;\otimes\;$$U(1)$ est à la base d'une théorie de jauge qui unifie les interactions faibles et électromagnétiques dans l'interaction électrofaible (cf. Le groupe $SU(2)\otimes U(1)$ et la théorie électrofaible).

• Les particules soumises à cette force sont les fermions et les bosons de jauge (photon, bosons Z et W), mais pas les gluons.

• 

  Cette symétrie est brisée spontanément par l'introduction du boson de Higgs de spin $0$ par le mécanisme dit de Higgs : cette brisure génère les masses des particules que ce soit celles des bosons (sauf le photon dont la masse est nulle), que celles des fermions.

SU(3) x SU(2) x U(1)

Ce modèle est décrit par les théories de Yang-Mills, après quantification et font appel à la géométrie différentielle et aux espaces fibrés.

• L'invariance locale signifie alors que les équations de Yang-Mills seront inchangées sous l'action de transformations de $G$ sur les champs physiques en chaque point de l'espace-temps.
• Murray Gell-Mann, a prédit l’existence des quarks grâce à la structure des représentations de SU(3).

Remarque : on décrit aussi une supersymétrie où chaque particule a un double supersymétrique (super-partenaires: fermion/boson et boson/fermion dont le spin diffère de 1/2), qui est loin d'être confirmée à l'heure actuelle.

Parité : symétrie P