Mécanique quantique
Fonction d'onde

Dans la mécanique quantique, qui est non-déterministe (principe d'incertitude), l'état du système ou état quantique (qui peut être pur ou mixte) permet seulement de prévoir, de façon toutefois parfaitement reproductible, les probabilités respectives des différents résultats.

Fonction d'onde

La représentation d'un état quantique peut être décrit par une fonction mathématique appelée fonction d'onde, $\left\vert\Psi(t)\right\rangle$, donné en respectant les contraintes imposées par les relations d'Heisenberg (principe d'incertitude).

La fonction d'onde est une amplitude de probabilité, à valeur complexe.

1. On l'écrit $\Psi(r,t)$, où $\vert r\rangle$ est la position et $t$ le temps.

• C'est une fonction complexe qui n'est pas une trajectoire et n'a pas de signification physique.
• Dans le cas le plus simple, $\Psi:\mathcal R^3\rightarrow\mathcal C$, $(x,y,z)\mapsto\psi(x,y,z)$ telle que $\int_{\mathcal R^3}\vert\Psi(r)\vert^2dr$ converge.

2. La densité de probabilité de présence ou probabilité de trouver une particule au voisinage de la position $r$ (qui est un volume) à l'instant $t$ est alors proportionnelle au module au carré de la fonction d'onde.

$$\vert \Psi\vert^2=\vert\Psi(r,t)\vert^2$$

Remarque : il existe une infinité de solutions à cette équation, et les seules retenues sont celles qui ont signification physique, ce qui impose des propriétés bien précises à cette densité de probabilité dans son domaine de définition :

• 

  être continue, i.e une seule valeur en un point donné de l’espace ;
• être dérivable, la dérivée étant aussi continue ;
• être de carré sommable, ne doit pas tendre vers l'infini ;
• être normalisée : i.e. décrire un objet qui existe, et donc $\vert \Psi\vert^2=1$, sinon la particule n'existerait pas (ce terme dérive de norme).

La fonction d'onde est calculée à l'aide de l'équation de Schrödinger.

Équation de Schrödinger