Le groupe ($ G,\ast$), concept mathématique, est un ensemble $ G$ non vide auquel est associé une opération, loi de composition interne, ($\ast$), qui vérifie les propriétés suivantes :
pour tout $x,y\in G$, $x\ast y\in G$ : $\ast$ est la loi de composition interne - par exemple, addition ou multiplication - et on parle de loi interne sur G ou loi sur G ;
pour tout $x,y,z\in G$, $(x\ast y)\ast z=x\ast(y\ast z)$ : la loi est associative ;
il existe $e\in G$ tel que $\forall x\in G$, $x\ast e= x$ et $e\ast x=x$ : $e$ est l’élément neutre qui est unique ;
pour tout $x\in G$, il existe $x'\in G$ tel que $x\ast x'=x'\ast x=e$ : $x'$ est le symétrique (ou opposé) de $x$ qui est unique et noté $x^{-1}$. $e$ est son propre inverse ($e^{-1}=e$).
Si, en plus, pour tout $ x,y\in G$, $x\ast y=y\ast x$, le groupe est dit commutatif (ou abélien).
Par exemple, l'addition $(+)$ est une loi de composition interne sur $\mathbb{R}$ et le groupe est $(\mathbb{R},+)$. L'élément neutre est $0$. De même, $(\mathbb{Z},+)$, $(\mathbb{Q},+)$ et $(\mathbb{C},+)$ sont des groupes commutatifs.
On peut noter que $\mathbb{N}$ n'est pas un groupe ni pour l'addition (ses éléments n'ont pas d'opposés), ni pour la multiplication (ses éléments sont entiers).
Rotations
(Figure : vetopsy.fr)
$(\mathbb{R}^*,\times)$, écrit d'ailleurs $(\mathbb{R}^*,\cdot)$ est aussi un groupe si on se restreint aux nombres réels non nuls, $\mathbb{R}^*$, c'est-à-dire, $\mathbb{R}$ sans le $0$, car ce nombre n'a pas d'inverse. L'élément neutre est $1$ et le symétrique est appelé inverse. De même, $(\mathbb{Q}^*,\cdot)$ et $(\mathbb{C}^*,\cdot)$ sont des groupes commutatifs.
On peut noter que $(\mathbb{Z^*,\cdot})$ n'est pas un groupe car ses éléments n'ont pas d'inverse : par exemple, $2$ n'est pas inversible ($1/2\notin\mathbb{Z}$).
Évidemment, les groupes ont des applications géométriques.
Soit $\mathscr{R}$ l’ensemble des rotations du plan dont le centre est à l’origine $O$ : si on applique deux rotations $R_\theta$ et $R_{\theta'}$, la composée $R_\theta\circ R_{\theta'}$ est encore une rotation de centre $O$ et d’angle $R_\theta+R_{\theta'}$. $(\mathscr{R},\circ)$ forme un groupe : $\circ$ est sa loi de composition interne, $\theta=0$ l'élément neutre (identité du plan), $-\;\theta$ l'inverse de $\theta$. Ce groupe est commutatif.
Par contre, si $\mathscr{P}$ est l'ensemble des isométries du plan - transformations qui conservent les distances et les angles comme les rotations, translations, réflexions…), le groupe $(\mathscr{P},\circ)$ n'est pas commutatif. Si on applique une rotation suivi d'une translation (figure de droite), le résultat sera différent d'une translation suivie d'une rotation (figure de gauche).
Rotation et translation (et réciproquement)
(Figure : vetopsy.fr)
En mathématiques, un anneau $( A,+,\cdot)$ est un ensemble muni de deux opérations binaires ( (deux lois de composition internes) rendant possible l'addition $(+)$ ou $(\oplus)$ et la multiplication $(\cdot)$ou $(\otimes)$.
L'élément neutre de $(+)$, 0, est appelé élément aborbant pour $(\cdot)$ : c'est un élément de cet ensemble qui transforme tous les autres éléments en l'élément absorbant lorsqu'il est combiné avec eux par la loi de composition interne : $a\cdot0=0\cdot a=0$.
Par exemple, $(\mathbb{Z},+,\cdot)$, $(\mathbb{Q},+,\cdot)$, $(\mathbb{R},+,\cdot)$, $(\mathbb{C},+,\cdot)$ sont des anneaux et $(\mathbb{Q},+,\cdot)$ est un sous-anneau de $(\mathbb{R},+,\cdot)$.
Un élément inversible est un élément $x\in A$ qui admet un symétrique pour la loi $\cdot$.
a divise b, noté $a\vert b$, s’il existe $c\in A$ tel que $b=ca$.
L'anneau est dit intègre, si $1\neq0$, quand $a\cdot b=0$ si, et seulement si, $a=0$ ou $b=0$. On dit que l'anneau est sans diviseur de zéro. Le diviseur de zéro est défini comme un élément non nul ($x$) dont le produit par un certain élément non nul ($y$) est égal à zéro ($x\cdot y=0$) : l'anneau n'est pas intègre.
Anneau du " Seigneur des anneaux "
$\mathbb{Z}$ est intègre, et ses éléments inversibles sont 1 et − 1.
$\mathbb{Q}$ , $\mathbb{R}$ et $\mathbb{C}$ sont des anneaux intègres dont tous les éléments non nuls sont inversibles.
Sinon, on utilise des commutateurs qui donnent une idée de la façon dont une loi n'est pas commutative, commutateurs utilisés en mécanique quantique (principe d'incertitude).
Tout élément non nul a un inverse pour la multiplication $\cdot$ : l'ensemble des éléments non nuls est un groupe pour la multiplication $\cdot$.
Par exemple, $(\mathbb{Q},+,\cdot)$, $(\mathbb{R},+,\cdot)$ et $(\mathbb{C},+,\cdot)$, sont des corps : $(\mathbb{Q},+,\cdot)$ est un sous-corps de $(\mathbb{R},+,\cdot)$. $ (\mathbb{Z},+,\cdot)$ n'est pas un corps : par exemple, $2$ n'est pas inversible ($1/2\notin\mathbb{Z}$).
non-commutatif ou gauche, comme les quaternions d'Hamilton, qui fournissent une notation mathématique commode pour représenter l'orientation et la rotation d'objets en trois dimensions.
