baignent dans un potentiel attractif simple $V(r)$.
Ce modèle macro-microscopique, développé par Maria Goeppert-Mayer (1906-1971) en 1948, suppose que les nucléons se trouvent sur des orbites énergétiques et sont indépendants.
1. On a d'abord considéré que le niveau $n$ correspond à la couche, comme pour le nombre quantique principal électronique, avec la différence majeure qu'on commence la numérotation à 0.
Avec l'interaction spin-orbite, les énergies des états du même niveau, mais avec des j différents, ne sont plus identiques. Selon que $\vec S$ et $\vec L$ sont parallèles ou antiparallèles, $j=\ell+1/2$ ou $j=\ell-1/2$
La parité de la sous-couche est $+$ pour les couches $\ell$ paires (ou nulle), $-$ pour les $\ell$ impaires.
où $V_0$, égal à approximativement 50 MeV, représente la profondeur du puits de potentiel,
Modèle en couches
(Figure : vetopsy.fr)
$r$ la distance du nucléon au centre du noyau, $a$ est une longueur représentant l’épaisseur de la surface du noyau, approximativement 0,5 fm ;
5ème couche (2p, 1f, 1g) : 22 états - $n=3$ et $j=1/2,\;3/2,\;5/2$ ; $n=2$ et $j=9/2$ - ;
6ème couche (3s, 2d, 1g, 1h) : 32 états - $n=4$ et $j=1/2,\;3/2,\;5/2,\;7/2$ ; $n=5$ et $j=11/2$ - ;
7ème couche (3p, 2f, 1h, 1i) : 44 états - $n=5$ et $j=1/2,\;3/2,\;5/2,\;7/2,\;9/2$ ; $n=6$ et $j=13/2$ - ;
8ème couche (4s, 3d, 2g, 1i, 1j) : 58 états - $n=6$ et $j=1/2,\;3/2,\;5/2,\;7/2,\;9/2,\;11/2$ ; $n=7$ et $j=15/2$ -.
Si on ajoute le nombre d'états de chaque couche, on retrouve bien les nombres magiques : 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126.
Ce modèle décrit bien les couches et les noyaux dans leur état fondamental qui se remplissent progressivement selon le nombre de nucléons, mais l'énergie de liaison totale est loin d'être exacte.
1. Ce champ moyen dans l'approche de Hartree-Fock est dit auto-cohérent : les particules indépendantes évoluent dans un champ créé par elles-mêmes, qui dépend de la structure du noyau dont le coeur n'est plus considéré comme inerte.
Le procédé de résolution des équations Hartree-Fock est itératif, car celles-ci sont en réalité une équation de Schrödinger dans laquelle le potentiel dépend de la densité, c'est-à-dire des fonctions d'onde qu'on cherche à déterminer : on doit donc connaitre les solutions avant de démarrer les calculs.
Les solutions des équations brisent souvent la symétrie en provoquant des déformations ou en ne respectant pas la conservation des particules (approche dite Hartree-Fock-Bogolyubov).
On peut l'expliquer succinctement. Les nucléons, comme les électrons, ont un moment angulaire total $j$ dont la projection sur l’axe de quantification vaut $j_z$.
Déformations du noyau (brisure de symétrie de rotation)
(Figure : vetopsy.fr d'après
Schunck)
Pour une projection $j_z$ élevée, la distribution est centrée dans le plan équatorial et donc “ aplatie ". À l’inverse, la distribution est centrée dans le plan perpendiculaire et donc “ allongée ” pour $j_z$ faible.
Dans le monde sphérique du modèle en couches, l’état $J$ est dégénéré et accueille $2J+1$ nucléons (par exemple, si $J=5/2$, 6 nucléons).
La déformation lève la dégénérescence des sous-états $|j_z|$. $+j_z$ et $–j_z$ ont le même niveau d’énergie, i.e. un $|j_z|$ donné accueillera 2 nucléons, mais les autres projections auront des énergies différentes. Pour $j=5/2$, on pourra mettre 2 nucléons sur $j_z=\pm5/2$, 2 sur $j_z=\pm3/2$ et 2 sur $j_z=\pm1/2$.
Il vaut mieux, énergétiquement parlant, placer 2 nucléons sur des niveaux de même énergie correspondant à deux orbites identiques mais avec un sens de rotation différent.
Pour calculer plus précisément les niveaux énergétiques, on se sert alors avec des corrections du modèle de la goutte liquide en y incluant les déformations.
Et là, cela devient beaucoup plus compliqué : voir comment modéliser le noyau ? et les pages du net pour en apprendre plus. En outre, les recherches sont encore en cours et le modèle n'est pas encore satisfaisant.