• Comportement du chien et
    du chat
  • Celui qui connait vraiment les animaux est par là même capable de comprendre pleinement le caractère unique de l'homme
    • Konrad Lorenz
  • Biologie, neurosciences et
    sciences en général
  •  Le but des sciences n'est pas d'ouvrir une porte à la sagesse infinie,
    mais de poser une limite à l'erreur infinie
    • La vie de Galilée de Bertold Brecht

Mathématiques : rappels
Structures algébriques : groupes, anneaux, corps

Sommaire
attention

Cette page rappelle très succinctement les structures algébriques pour pouvoir se faire une idée du modèle standard des particules élémentaires.

Vous pouvez vous reporter grâce aux liens à tous les articles de Wikipedia ou d'autres sites qui pourront vous emmener plus loin.

Les structures algébriques sont légions (cf. liste), et ces pages ne parlerons que :

Groupes

Rubik's cube
Rubik's cube
(Figure : vetopsy.fr d'après Booyabazooka)

Le groupe ($ G,\ast$), concept mathématique, est un ensemble $ G$ non vide auquel est associé une opération, loi de composition interne, ($\ast$), qui vérifie les propriétés suivantes :

  • pour tout $x,y\in G$, $x\ast y\in G$ : $\ast$ est la loi de composition interne - par exemple, addition ou multiplication - et on parle de loi interne sur G ou loi sur G ;
  • pour tout $x,y,z\in G$, $(x\ast y)\ast z=x\ast(y\ast z)$ : la loi est associative ;
  • il existe $e\in G$ tel que $\forall x\in G$, $x\ast e= x$ et $e\ast x=x$ : $e$ est l’élément neutre qui est unique ;
  • pour tout $x\in G$, il existe $x'\in G$ tel que $x\ast x'=x'\ast x=e$ : $x'$ est le symétrique (ou opposé) de $x$ qui est unique et noté $x^{-1}$. $e$ est son propre inverse ($e^{-1}=e$).

Si, en plus, pour tout $ x,y\in G$, $x\ast y=y\ast x$, le groupe est dit commutatif (ou abélien).

  • Par exemple, l'addition $(+)$ est une loi de composition interne sur $\mathbb{R}$ et le groupe est $(\mathbb{R},+)$. L'élément neutre est $0$. De même, $(\mathbb{Z},+)$, $(\mathbb{Q},+)$ et $(\mathbb{C},+)$ sont des groupes commutatifs.

On peut noter que $\mathbb{N}$ n'est pas un groupe ni pour l'addition (ses éléments n'ont pas d'opposés), ni pour la multiplication (ses éléments sont entiers).

  • Rotations
    Rotations
    (Figure : vetopsy.fr)
    $(\mathbb{R}^*,\times)$, écrit d'ailleurs $(\mathbb{R}^*,\cdot)$ est aussi un groupe si on se restreint aux nombres réels non nuls, $\mathbb{R}^*$, c'est-à-dire, $\mathbb{R}$ sans le $0$, car ce nombre n'a pas d'inverse. L'élément neutre est $1$ et le symétrique est appelé inverse. De même, $(\mathbb{Q}^*,\cdot)$ et $(\mathbb{C}^*,\cdot)$ sont des groupes commutatifs.
  • On peut noter que $(\mathbb{Z^*,\cdot})$ n'est pas un groupe car ses éléments n'ont pas d'inverse : par exemple, $2$ n'est pas inversible ($1/2\notin\mathbb{Z}$).

Évidemment, les groupes ont des applications géométriques.

  • Soit $\mathscr{R}$ l’ensemble des rotations du plan dont le centre est à l’origine $O$ : si on applique deux rotations $R_\theta$ et $R_{\theta'}$, la composée $R_\theta\circ R_{\theta'}$ est encore une rotation de centre $O$ et d’angle $R_\theta+R_{\theta'}$. $(\mathscr{R},\circ)$ forme un groupe : $\circ$ est sa loi de composition interne, $\theta=0$ l'élément neutre (identité du plan), $-\;\theta$ l'inverse de $\theta$. Ce groupe est commutatif.
  • Par contre, si $\mathscr{P}$ est l'ensemble des isométries du plan - transformations qui conservent les distances et les angles comme les rotations, translations, réflexions…), le groupe $(\mathscr{P},\circ)$ n'est pas commutatif. Si on applique une rotation suivi d'une translation (figure de droite), le résultat sera différent d'une translation suivie d'une rotation (figure de gauche).
Rotation et translation
Rotation et translation (et réciproquement)
(Figure : vetopsy.fr)

La résolution du Rubik's cube fait appel à des groupes (permutations).

bien

De nombreuses pages internet, dont Wikipedia, développent les différents aspects des groupes.

Évariste Galois (1811-1832) est le précurseur de la théorie des groupes et a mis en évidence la correspondance entre symétrie et invariance, reprise par le théorème de Noether.

Anneaux

En mathématiques, un anneau $( A,+,\cdot)$ est un ensemble muni de deux opérations binaires ( (deux lois de composition internes) rendant possible l'addition $(+)$ ou $(\oplus)$ et la multiplication $(\cdot)$ ou $(\otimes)$.

Évariste Galois
Évariste Galois (1811-1832)

$\forall x,y,z\in A$, $x\ast(y+z)=x\ast y+x\ast z$ et $(x+y)\ast z=x\ast z+y\ast z$

L'élément neutre de $(+)$, 0, est appelé élément aborbant pour $(\cdot)$ : c'est un élément de cet ensemble qui transforme tous les autres éléments en l'élément absorbant lorsqu'il est combiné avec eux par la loi de composition interne : $a\cdot0=0\cdot a=0$.

Ces anneaux ont donc deux lois de composition internes.

Par exemple, $(\mathbb{Z},+,\cdot)$, $(\mathbb{Q},+,\cdot)$, $(\mathbb{R},+,\cdot)$, $(\mathbb{C},+,\cdot)$ sont des anneaux et $(\mathbb{Q},+,\cdot)$ est un sous-anneau de $(\mathbb{R},+,\cdot)$.

Un élément inversible est un élément $x\in A$ qui admet un symétrique pour la loi $\cdot$.

a divise b, noté $a\vert b$, s’il existe $c\in A$ tel que $b=ca$.

L'anneau est dit intègre, si $1\neq0$, quand $a\cdot b=0$ si, et seulement si, $a=0$ ou $b=0$. On dit que l'anneau est sans diviseur de zéro. Le diviseur de zéro est défini comme un élément non nul ($x$) dont le produit par un certain élément non nul ($y$) est égal à zéro ($x\cdot y=0$) : l'anneau n'est pas intègre.

  • Anneau du Seigneur des anneaux
    Anneau du " Seigneur des anneaux "
    $\mathbb{Z}$ est intègre, et ses éléments inversibles sont 1 et − 1.
  • $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{R}$ et $\mathbb{C}$ sont des anneaux intègres dont tous les éléments non nuls sont inversibles.

Si, la loi $\ast$ est commutative, l'anneau est dit commutatif (ou abélien).

Sinon, on utilise des commutateurs qui donnent une idée de la façon dont une loi n'est pas commutative, commutateurs utilisés en mécanique quantique (principe d'incertitude).

Pour un module, l'ensemble des scalaires forment un anneau.

Un module est à un anneau ce qu'un espace vectoriel est à un corps.

Remarque : il existe des semi-anneaux - chaque élément ne doit pas avoir un opposé dans l'addition, comme $\mathbb{N}$ -, des pseudo-anneaux (sans élément neutre pour la multiplication comme l'ensemble $\mathbb{2Z}$), des anneaux non-associatifs - espace euclidien $\mathbb{R^3}$, mais aussi anticommutatif ($xy=-yx$) -, des presque-anneaux.

Corps

Le corps de l'homme de Vitruve
Le corps de l'homme de Vitruve
Léonard de Vinci (1492)

Un corps $( K,+,\cdot)$ est un anneau commutatif dans lequel tout élément non nul est inversible.

Tout élément non nul a un inverse pour la multiplication $\cdot$ : l'ensemble des éléments non nuls est un groupe pour la multiplication $\cdot$.

Par exemple, $(\mathbb{Q},+,\cdot)$, $(\mathbb{R},+,\cdot)$ et $(\mathbb{C},+,\cdot)$, sont des corps : $(\mathbb{Q},+,\cdot)$ est un sous-corps de $(\mathbb{R},+,\cdot)$. $ (\mathbb{Z},+,\cdot)$ n'est pas un corps : par exemple, $2$ n'est pas inversible ($1/2\notin\mathbb{Z}$).

Pour un ensemble vectoriel, l'ensemble des scalaires forment un corps.

Remarque : les français appellent " corps ", un anneau $commutatif$ dans lequel la division est possible (autre formulation de la définition)

Les anglais appellent " division ring " ou " field " en anglais, de l'allemand " Körper ", des corps qui peuvent être :

Espaces vectoriels

Bibliographie
  • Pas de bibliographie disponible