• Comportement du chien et
    du chat
  • Celui qui connait vraiment les animaux est par là même capable de comprendre pleinement le caractère unique de l'homme
    • Konrad Lorenz
  • Biologie, neurosciences et
    sciences en général
  •  Le but des sciences n'est pas d'ouvrir une porte à la sagesse infinie,
    mais de poser une limite à l'erreur infinie
    • La vie de Galilée de Bertold Brecht

Mathématiques : rappels
Ensembles des nombres

Sommaire
définition

Un nombre est une notion qui permet de compter, de dénombrer les choses ou les êtres, de classer les objets, de mesurer les grandeurs.

Ensembles des nombres

Six ensembles de base permettent de manipuler les nombres, chacun étant un sous-ensemble du suivant.

1. $\mathbb N$, les nombres entiers naturels (positifs ou nul),

2. $\mathbb Z$, les nombres entiers relatifs (comprenant, en plus, les entiers négatifs),

Ensembles des nombres
Ensembles des nombres
(Figure : vetopsy.fr)

3. $\mathbb D$, l'ensemble des décimaux relatifs (à virgule flottante dont la partie décimale est composée d'une quantité finie de chiffres),

4. $\mathbb Q$, l'ensemble des nombres rationnels (pouvant s'exprimer par un quotient de deux entiers relatifs, le dénominateur n'étant pas nul : le développement d'un nombre rationnel est toujours périodique au bout d'une certaine décimale),

5. $\mathbb R$, l'ensemble des nombres réels à développement décimal infini et non périodique : il comprend les nombres irrationnels, qui ne peuvent s'écrire sous forme de fraction de deux entiers relatifs, comme $\sqrt2$ (racine carrée de 2), $\pi$ (rapport de la circonférence du cercle à son diamètre), ou $e$ (nombre d'Euler ou constante de Néper).

6. $\mathbb C$, l'ensemble des nombres complexes (cf. plus bas).

On peut écrire : $\mathbb N\subseteq\mathbb Z\subseteq\mathbb D\subseteq\mathbb Q\subseteq\mathbb R\subseteq\mathbb C$.

Nombres complexes

Les nombres complexes forment une extension de l'ensemble des nombres réels qui contient en particulier un nombre imaginaire $ i$ (cf. Nombres : curiosités, théorie et usages).

Formulation algébrique

Le corps $(\mathbb C,+,\cdot)$ satisfait les propriétés suivantes :

  • $(\mathbb{R},+,\cdot)$ est un sous-corps de ($\mathbb{C},+,\cdot$).
  • $\mathbb{C}$ possède un élément $i$ lel que $i^2 =–1$, $i$ étant l'élément imaginaire (ou $i=\sqrt{-1}$).
  • Nombre complexe
    Nombre complexe
    (Figure : vetopsy.fr)
    $\forall z \in C$, il peut s'écrire de manière unique $z=a+ib$ avec $(a,b)\in\mathbb{R}^2$.

Si on veut calculer la racine carrée de -9 : $\sqrt{-9}=\sqrt{(-1)\cdot(9)}=\sqrt{-1}\cdot\sqrt{9}=i\cdot3=3i$

$ z=a+ib$ est appelé forme algébrique de z dans laquelle :

  • $\Re(z):=a$ est la partie réelle de $z$, aussi écrite $Re(z)$.
  • $\Im(z):=b$ est la partie imaginaire de $z$, aussi écrite $Im(z)$.

Si $ z$ et $ z'$ sont des nombres complexes :

  • $z=z'$ si, et seulement si, $\left\{\begin{array}{11}\Re(z)=\Re(z')\\\Im(z)=\Im(z')\end{array}\right.$.
  • $z$ est un nombre réel si, et seulement si, $\Im (z)=0$.
  • $z$ est un imaginaire pur si, et seulement si, $\Re(z)=0$.

Si on prend un nombre réel et on réalise une rotation de 90°, on retrouve un nombre imaginaire pur. Si on tourne encore de 90°, on retrouve un réel. $i^2 =–1$ correspond à une rotation de 180°. Par contre, multiplier un nombre complexe par i lui fait effectuer une rotation antihoraire de 90*.

Formulation géométrique

Les nombres complexes peuvent s'écrire sous forme géométrique en définissant un plan complexe $\mathscr{P}$ à plan orthogonal $(O,\vec u, \vec v)$.

Tartaglia et Cardan
Niccolo Fontana Tartaglia et Jérôme Cardan

À tout complexe algébrique $z=a+ib$, on associe le point $M$ de coordonnées $(a,b)$.

  • $z$, le nombre complexe, est dit affixe du point M ;
  • $M$ le point image de $z$, noté $M(z)$ ou $M(a+i b)$.

Ceci définit une application $\Theta$, bijection de $\mathbb{C}$ sur $\mathscr{P}$ : $\Theta:\left\{\begin{array}{11}\mathbb{C}&\rightarrow&\mathscr{P}\\z=a+ib&\mapsto&M(z)\end{array}\right.$

  • L'image vectorielle de $z$ est le vecteur $\vec w=\vec{OM}$, appelé vecteur image et $z$ est l'affixe de $\vec w$.
  • Comme conséquence $(O,\vec u)$ est appelé axe des réels $(b=0)$, et $(O,\vec v)$ est appelé axe des imaginaires $(a=0)$. L'ensemble des imaginaires purs est appelé $i\mathbb{R}$.

Le module de $ z$, $ |z|$ est la distance $OM$, i.e. un réel positif : la norme du vecteur $\vec{OM}$ noté ${\parallel OM\parallel}$ : $\vert z\vert=\sqrt{a^2+b^2}$

  • Le module du nombre complexe généralise à l'ensemble $\mathbb C$ la notion de valeur absolue définie sur $\mathbb R$.
  • Une norme est une fonction qui assigne une longueur ou une taille strictement positive à tout vecteur d'un espace vectoriel (excepté pour le vecteur nul de longueur zéro) : c'est donc une extension de la valeur absolue des nombres aux vecteurs.
Nombre complexe et son conjugué
Nombre complexe et son conjugué
(Figure : vetopsy.fr)

Le conjugué de $ z=a+ib$ (point image $M$) est le complexe $\bar z=a-ib$, aussi noté $z^{*}$ (point image $M'$) : $M'$ est symétrique à $M$ par rapport à l'axe des réels.

bien

Vous pouvez effectuer les opérations sur les nombres complexes dans Nombres : curiosités, théorie et usages.

Les nombres complexes peuvent s'écrire sous forme polaire : on définit la distance du point $M$ par rapport à l'origine $O$, de coordonnées $0,0$ et l'angle $\varPhi$ entre l'axe des réels et le segment de droite $OM$, dans le sens anti-horaire.

  • Ce nombre s'écrit : $z=r\cos(\varphi)+i\sin(\varphi)$ avec $r\gt0$.
  • $r$ est le module du complexe $z$, tel que $r=\vert z\vert=\sqrt{a^2+b^2}$.
  • $\varphi$ est l'argument de z et noté $arg(z)$ : $\varphi=arccos\dfrac{a}{r}=arcsin\dfrac{b}{r}$.

$z$ peut être aussi écrit $z=re^{i\varphi}$, forme exponentielle utilisant la formule d'Euler (avec l'identité $e^{i\pi}+1=0$).

Sous forme polaire, multiplier deux nombres complexes, c'est multiplier leurs modules (longueurs) et ajouter les arguments (angles), les diviser, c'est diviser leur modules et soustraire leurs arguments.

bien

Les nombres complexes sont indispensables à la mécanique quantique.

Structures algébriques

Bibliographie
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