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En physique, un champ est la donnée, pour chaque point de l'espace-temps, de la valeur d'une grandeur physique qui peut être :
scalaire lorsque la grandeur est une valeur numérique : par exemple, dans un bulletin météo, la température prend des valeurs différentes pour chaque région ;
Espace-temps
vectorielle lorsque la grandeur est caractérisée par un vecteur (approche des vecteurs) : par exemple un champ de vitesse qui correspond à une valeur absolue et une direction (particules d'un fluide, champ électrique…).
On définit des vecteurs liés dont l'origine est un point bien précis (appelé aussi, bipoint) et des vecteurs libres.
En mathématiques et en physique, un opérateur, noté avec un chapeau, $\hat Oper$, est une application entre deux espaces vectoriels topologiques, i.e. il transforme une fonction en une autre fonction de la même variable.
Prenons un exemple simple pour mieux comprendre.
Si $\hat M$ est l'opérateur " $\times x$ " :
alors $\hat M(x^2)=x^3$ ou $\hat M(\cos x)=x\cos x$,
d'où $\hat Mf(x)=xf(x)$.
Ces opérateurs sont très utiles dans la mécanique, en particulier dans les symétries.
Prenons un corps K ($\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$) - espace vectoriel rationnel, réel ou complexe -, un espace vectoriel sur $K$, ou K-espace vectoriel, est un ensemble $E$, dont les éléments sont appelés vecteurs (les différents vecteurs) muni de deux lois :
Une loi de composition $\ast$ : $E\times F\rightarrow G$, avec $G=E$ ou $G=F$, est une application de $E\times F$ dans $G$ qui associe à chaque couple $(x,y)$ de $E\times F$, un élément de $G$, noté habituellement $x\ast y$ et appelé " composé " de $x$ et de $y,$ ou encore " produit " de $x$ et $y$.
si $E\neq F$ et $G=F$, la loi $\ast$ : $E\times F\rightarrow F$ est appelée loi de composition externe à gauche sur $F$ ou loi de composition externe, et $E$ est alors le domaine des opérateurs ;
si $E\neq F$ et $G=E$, la loi $\ast$ : $E\times F\rightarrow E$ est appelée loi de composition externe à droite sur $E$ de domaine $F$.
Multiplication par un scalaire et produit scalaire
(Figure
: vetopsy.fr)
Un scalaire (de l'anglais " scalar " dérivé de " scale ", ensemble de nombres) est, dans l'algèbre linéaire, un nombre réel qui multiplie un vecteur dans un espace vectoriel.
De manière plus générale, les scalaires sont les éléments de $K$, K-espace vectoriel, où $K$ peut être l'ensemble des nombres complexes ou n'importe quel autre corps.
Un produit scalaire (différent de la multiplication par un scalaire) peut être défini sur un espace vectoriel, permettant à deux vecteurs d'être multipliés entre eux pour donner un scalaire, c'est-à-dire un nombre.
Ce produit scalaire permet d'exploiter les notions longueurs, angles, orthogonalité en dimension deux et trois de la géométrie euclidienne. Soit deux vecteurs $\vec A$ et $\vec B$ dont les longueurs sont respectivement $\parallel a\parallel$ et $\parallel b\parallel$, et qui forment un angle $\theta$ entre eux, alors : $(\vec A,\vec B)=\parallel a\parallel\;\parallel b\parallel\cos(\theta)$.
Il est étendu à des espaces vectoriels réels de toute dimension, et aux espaces vectoriels complexes.
Soit $E$ un espace vectoriel réel, et une application $\varphi:E\times E\rightarrow\mathbb{R}$, un produit scalaire est une forme bilinéaire $\langle\cdot,\cdot\rangle$ symétrique définie positive sur $E$.
Euclide (300 avant J-C)
Ce produit scalaire est noté $\langle x\vert y\rangle$, ou $(x\vert y)$, ou $\vec x\cdot\vec y$ au lieu de $\varphi(x,y)$, ou $\langle\cdot\vert\cdot\rangle$ à la place de $\varphi$.
$\vec x$ et $\vec y$ ont pour coordonnées cartésiennes respectives $(x_1, x_2 , x_3)$ et $(y_1, y_2 , y_3)$, alors leur produit scalaire est : $\langle x\vert y\rangle=(x_1y_1 )+(x_2 y_2 )+(x_3 , y_3)$.
La norme euclidienne est $\parallel x\parallel=\sqrt{\langle x,x\rangle}$ et la distance associée est $d(x,y)=\parallel y-x\parallel$.
Sa forme quadratique - polynôme homogène de degré deux avec un nombre quelconque de variables - est $\parallel x\parallel^2$.
Remarque : $\mathbb{R}$ n'est pas algébriquement clos : $x^2+ 1=0$ n'a pas de solution dans $\mathbb{R}$, même si $1,0\in\mathbb{R}$.
Soit $E$ un espace vectoriel complexe $\mathcal C$, une application $\psi$ de $E$ dans $\mathcal C$ est une forme sesquilinéaire si $\psi$ est linéaire par rapport à la deuxième variable et sesquilinéaire (semi-linéaire) par rapport à la première (" sesqui ": un et demi en latin). $\forall(xy)\in E^2,$ :
Sesquilinéaire et anti-linéaire sont synonymes car $f(ix)=-if(x)$.
Cette forme sesquilinéaire est dite hermitienne si $\forall(x,y)\in E^2\;\psi(x,y)=\overline{\psi(x,y)}$.
Le produit scalaire hermitien sur $E$ est toute forme sisquilinéaire hermitienne positive, application de $\psi$ de $E^2$ dans $\mathcal C$ telle que :
